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Cálculo 1 aula 03 caderno do João

Regras de derivar: o tombo e a cadeia

Ninguém deriva pela definição todo dia: o expoente tomba, as parcelas se derivam separadas e a cadeia desmonta máquina dentro de máquina.

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as duas regras da aula
\[ \big(a\,x^n\big)'=n\,a\,x^{n-1} \]
\[ \big[f(g(x))\big]'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) \]
em uma frase

A definição prova as regras uma vez; depois eu uso as regras. O tombo do expoente resolve quase tudo que é polinômio.

§ 3.1 · regra da potência

O tombo

No caderno: em \(10x^3\), o telhado \(3\) tomba e bate no trator \(10\), dando \(30\); o telhado perde um parafuso e vira \(2\).

\[ \big(a\,x^n\big)'=n\,a\,x^{n-1}\quad\Longrightarrow\quad\big(10x^3\big)'=30x^2 \tag{3.1} \]
figura 3.1 · interativa A curva e o velocímetro dela Arraste o trator, o telhado e o ponto. A altura do ponto verde é a inclinação da curva azul.
−1 1 6 4 −4 −6 x
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§ 3.2 · as regras pequenas

Soma, constante e número multiplicando

Cada parcela separada\((x^3+x^2)'=3x^2+2x\)
Número sozinho some\((7)'=0\)
Número multiplicando espera fora\((5x)'=5\)
§ 3.3 · cálculo completo

A derivada de um polinômio inteiro

o que eu quero saber\(f'(x)\) para \(f(x)=4x^3-6x^2+5x-7\), e quanto a curva sobe por passo em \(x=2\).
o que eu já seiTombo: \((ax^n)'=nax^{n-1}\). Cada parcela separada. Constante sozinha vira \(0\).
  1. 1
    \(4x^3\)
    \[ 3\cdot4=12\ \longrightarrow\ 12x^2 \tag{3.2} \]
  2. 2
    \(-6x^2\)
    \[ 2\cdot(-6)=-12\ \longrightarrow\ -12x \tag{3.3} \]
  3. 3
    \(5x\) e \(-7\)\(5x\) vira \(5\); \(-7\) vira \(0\).
  4. 4
    Juntar
    \[ f'(x)=12x^2-12x+5 \tag{3.4} \]
  5. 5
    Em \(x=2\)
    \[ 12\cdot4-12\cdot2+5=48-24+5=29 \tag{3.5} \]
resultado\(f'(2)=29\)
✓ confere\(f(2{,}001)=11{,}029018\) e \(f(1{,}999)=10{,}971018\): a diferença dividida por \(0{,}002\) dá \(29{,}000\).
§ 3.4 · regra da cadeia

Máquina dentro de máquina

Quando há uma máquina dentro da outra, derivo a de fora, deixando a de dentro quieta, e multiplico pela derivada da de dentro. A tomada de 220 V tem pico de 311 V e gira 377 radianos por segundo:

\[ v(t)=311\,\operatorname{sen}(377t) \tag{3.6} \]
\[ \begin{aligned} v'(t)&=311\cos(377t)\cdot377\\ &=117\,247\,\cos(377t)\ \text{V/s} \end{aligned} \tag{3.7} \]

Quando a senoide cruza o zero, a tensão muda a mais de cem mil volts por segundo. É por isso que um capacitor na rede puxa corrente mesmo sem nada ligado: a corrente dele segue essa derivada.

§ 3.5 · do caderno

O erro e a correção

✕ o erro no cadernoDerivei \((3x+1)^2\) e escrevi \(2(3x+1)\).
✓ a correçãoFaltou multiplicar pela derivada de dentro: \((3x+1)'=3\).
\[ \big[(3x+1)^2\big]'=2(3x+1)\cdot3=6(3x+1) \tag{3.8} \]
✓ confere\((3x+1)^2=9x^2+6x+1\), que deriva em \(18x+6=6(3x+1)\).
§ 3.6 · pra treinar

Exercícios

1\((7x^4)'\)\(28x^3\)
2\((x^3-5x+2)'\) em \(x=1\)\(3x^2-5\), que em \(x=1\) vale \(-2\)
3A derivada de \((2x+5)^3\)\(3(2x+5)^2\cdot2=6(2x+5)^2\)
4\((\operatorname{sen}2x)'\)\(2\cos2x\)
5A derivada de \(100\) (uma tensão constante)\(0\)
pra levar

O telhado tomba e perde um. Parcela se deriva separada, número sozinho some. E na cadeia, sempre a derivada de fora vezes a derivada de dentro.

Cálculo 1 · aula 03 · o caderno é do João; os desenhos interativos, os cálculos completos e as correções marcadas entraram na arrumação pro site