Esta aula percorre o mesmo caminho que Feynman percorre no capítulo 16 do volume 3 das Feynman Lectures on Physics: da amplitude numa linha até os níveis quantizados de energia. O texto e os exemplos daqui são meus. As Lectures são protegidas por direito autoral da Caltech e da Basic Books, podem ser lidas de graça no site oficial, e nada delas está reproduzido aqui.
A física é conhecimento público. Todas as contas abaixo foram refeitas e conferidas numericamente antes de publicar: a normalização por soma de 200 mil pedaçinhos, e as energias com as constantes do CODATA.
1 · A amplitude, e o que ela não é
Na mecânica quântica, a pergunta "onde está a partícula" não tem resposta antes da medida. O que existe é uma amplitude: um número complexo ligado a cada resultado possível. A amplitude não é a chance. A chance sai dela, pelo quadrado do módulo.
com letra · a regra que liga amplitude a chance
- a amplitude
ψ = a + bi (número complexo)
- a chance
P = |ψ|² = a² + b²
A chance é o quadrado do módulo, nunca a amplitude em si
conta passo a passo · com os números de verdade: ψ = 0,6 + 0,8i
- passo 1 · a parte real ao quadrado
0,6² = 0,36
- passo 2 · a parte imaginária ao quadrado
0,8² = 0,64
- passo 3 · soma
0,36 + 0,64 = 1,00
100% de chance
A amplitude 0,6 + 0,8i não é 1, e mesmo assim a chance é 1. É por isso que somar amplitude não é somar chance.
2 · A função de onda: a amplitude em cada ponto
Se a partícula pode estar em qualquer lugar de uma linha, não existe uma amplitude, existe uma para cada ponto. Essa lista contínua é a função de onda, ψ(x). E como a partícula está em algum lugar, a soma de todas as chances tem que dar 1.
com letra · a normalização
- a chance por metro
|ψ(x)|² dx = chance de achar entre x e x + dx
- a soma de tudo
∫ |ψ(x)|² dx = 1, de −∞ a +∞
ψ sozinha não significa nada até ser normalizada
conta passo a passo · com os números de verdade: normalizar ψ = A sen(πx/L) numa caixa de 1 nm
- passo 1 · a integral do seno ao quadrado
∫₀L sen²(πx/L) dx = L/2
- passo 2 · a condição
A² · L/2 = 1 → A = √(2/L)
- passo 3 · com L = 1 nm
A = √(2 / 10⁻⁹) = √(2×10⁹) = 4,4721×10⁴
4,4721×10⁴ m−1/2
Somando |ψ|² em 200 mil pedacinhos no computador: 1,000000. A normalização fecha.
3 · O estado de momento definido
Existe uma função de onda especial: aquela em que o momento é um número só, sem dúvida nenhuma. Ela é uma onda que não decai, com comprimento fixo. E o comprimento dela é o que de Broglie tinha descoberto antes.
com letra · a onda de momento definido
- a função
ψ(x) = e^(ipx/ħ)
- o comprimento de onda
λ = h/p
Momento certo significa posição totalmente incerta: |ψ|² é igual em todo lugar
conta passo a passo · com os números de verdade: um elétron a 1% da velocidade da luz
- passo 1 · a velocidade
v = 0,01 × 2,9979×10⁸ = 2,9979×10⁶ m/s
- passo 2 · o momento
p = mv = 9,1094×10⁻³¹ × 2,9979×10⁶ = 2,7309×10⁻²⁴
- passo 3 · o comprimento de onda
λ = 6,6261×10⁻³⁴ / 2,7309×10⁻²⁴ = 2,43×10⁻¹⁰ m
0,243 nm, do tamanho de um átomo
É por isso que microscópio eletrônico enxerga o que o de luz não enxerga: a luz visível tem onda de 500 nm, duas mil vezes maior.
4 · De onde sai a equação de Schrödinger
Aqui está a conta que assusta. Ela parece que cai do céu, mas sai de duas coisas que você já viu: E = ħω, p = ħk, e a energia de uma partícula livre, que é p²/2m.
conta passo a passo · demonstração: a onda plana obedece à equação
- passo 1 · a onda
ψ = e^(i(kx − ωt)), com E = ħω e p = ħk
- passo 2 · deriva no tempo
iħ ∂ψ/∂t = iħ(−iω)ψ = ħωψ = Eψ
- passo 3 · deriva duas vezes no espaço
∂²ψ/∂x² = (ik)²ψ = −k²ψ
- passo 4 · monta a energia cinética
−(ħ²/2m) ∂²ψ/∂x² = ħ²k²/2m ψ = (p²/2m)ψ
- passo 5 · os dois lados são a mesma energia
iħ ∂ψ/∂t = −(ħ²/2m) ∂²ψ/∂x² + Vψ
A equação de Schrödinger é a frase "energia total = cinética + potencial", escrita para ondas
5 · Por que a energia vem em degraus
Prenda a partícula entre duas paredes. A onda tem que ser zero nas duas, porque ali a partícula não pode estar. Só cabem ondas com número inteiro de meias-ondas, e é isso que quantiza a energia. É o mesmo motivo pelo qual uma corda de violão só toca certas notas.
com letra · a caixa de parede dura
- a onda que cabe
nλ/2 = L → λ = 2L/n
- o momento
p = h/λ = nh/2L
- a energia
Eₙ = p²/2m = n²h²/8mL²
A energia só pode ser 1, 4, 9, 16… vezes o degrau de baixo
conta passo a passo · com os números de verdade: um elétron numa caixa de 1 nm
- passo 1 · o h ao quadrado
h² = (6,6261×10⁻³⁴)² = 4,3905×10⁻⁶⁷
- passo 2 · o de baixo
8mL² = 8 × 9,1094×10⁻³¹ × 10⁻¹⁸ = 7,2875×10⁻⁴⁸
- passo 3 · divide
E₁ = 4,3905×10⁻⁶⁷ / 7,2875×10⁻⁴⁸ = 6,0247×10⁻²⁰ J
- passo 4 · em elétron-volt
6,0247×10⁻²⁰ / 1,6022×10⁻¹⁹ = 0,3760 eV
- passo 5 · os degraus de cima
E₂ = 4E₁ = 1,5041 eV · E₃ = 9E₁ = 3,3843 eV
- passo 6 · a luz que o salto 2 para 1 emite
ΔE = 1,1281 eV → λ = hc/ΔE = 1099 nm
0,3760 eV o degrau de baixo, e o salto emite infravermelho
1099 nm cai no infravermelho próximo, a mesma faixa que a câmera térmica enxerga.
"A energia é quantizada porque a natureza é estranha no mundo pequeno."
A energia é quantizada porque a onda tem que caber. A mesma conta com uma bolinha de 1 grama numa caixa de 1 cm dá um degrau de 3,4×10⁻⁴² eV: os degraus existem, mas são tão pequenos que nenhuma balança do mundo separa um do outro, e o movimento parece contínuo. O estranho não é a regra, é o tamanho da constante de Planck.
- Um elétron numa caixa de 2 nm: qual o degrau de baixo? (dobrar L divide a energia por 4: 0,0940 eV)
- Qual o comprimento de onda de um próton a 1% da luz? (a massa é 1836 vezes maior, então λ é 1836 vezes menor: 0,000132 nm)
- Se ψ = 0,28 + 0,96i, qual a chance? (0,0784 + 0,9216 = 1,00)
- Por que o estado de momento definido não pode ser normalizado numa reta infinita? (|ψ|² é constante, e a integral de uma constante no infinito não fecha em 1)
- Na caixa de 1 nm, qual a chance de achar o elétron na metade esquerda, no estado n = 1? (exatamente 1/2, por simetria)
pra levarAmplitude é número complexo; a chance é o quadrado do módulo. A função de onda é a amplitude ponto a ponto, e só vale depois de normalizada. A equação de Schrödinger é "energia total = cinética + potencial" escrita para ondas. E a energia vem em degraus pelo motivo mais simples que existe: a onda tem que caber.