A lógica que encolhe o degrau

a receita, igual em toda aula

1 · o erro

Escrever um degrau com uma linha para cada caso da tabela.

2 · o porquê

A tabela tem 8 linhas, mas a lógica não tem 8 partes.

3 · a correção

De Morgan e Karnaugh cortam o que sobra.

4 · a prova

A bancada simplificando a sua tabela na sua frente.

Continua a aula 09 e a aula 10 da Matemática, que para na porta AND. Os desenhos das portas são nossos.

1 Duas operações, e o Ladder já é as duas

série = AND (A·B) · paralelo = OR (A+B) · contato NF = NOT (Ā)

1 · você já escreve booleana sem saber

Na álgebra da escola a letra vale qualquer número. Aqui ela vale 0 ou 1, e só. Contato aberto é 0, contato fechado é 1. Com dois valores, o número de casos é sempre uma potência de 2: duas entradas dão 4 linhas, três entradas dão 8.

E o Ladder que você escreve desde a aula 02 já é álgebra booleana desenhada:

dois contatos em série → A · B (AND: só passa se os dois fecharem) dois contatos em paralelo → A + B (OR: passa se um dos dois fechar) um contato NF → Ā (NOT: passa quando o sinal NÃO está)

O ponto é multiplicação e o mais é soma de propósito: as leis da álgebra normal valem quase todas, e é isso que deixa simplificar circuito como se simplifica conta.

2 · as três portas básicas

NOT · inversora

Troca 0 por 1 e 1 por 0. No painel é o contato NF.

AND · E

A · B

Só dá 1 quando todas as entradas são 1. Contatos em série.

OR · OU

A + B

Dá 1 quando pelo menos uma entrada é 1. Contatos em paralelo.

3 · as derivadas, que são as que a fábrica usa

NAND

A̅·̅B̅

O contrário da AND. Só dá 0 quando todas as entradas são 1.

NOR

A̅+̅B̅

O contrário da OR. Só dá 1 quando todas as entradas são 0.

XOR · ou exclusivo

A ⊕ B

Dá 1 quando as entradas são diferentes uma da outra.

A	B	AND	OR	NAND	NOR	XOR
0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1
1	1	1	1	0	0	0

A NAND tem uma propriedade que parece curiosidade e não é: com NAND sozinha você monta todas as outras. Ligando as duas entradas dela juntas ela vira NOT; uma NAND seguida de outra em NOT vira AND; e duas NOT na entrada de uma NAND dão OR, que é De Morgan aparecendo. Por isso muita família de chip só traz NAND: uma peça só resolve o circuito inteiro.

2 As leis que cortam contato

as quatro básicas, e a absorção, que é a que paga

1 · as básicas

lei	com AND	com OR	o que ela diz no painel
Identidade	A · 1 = A	A + 0 = A	contato sempre fechado em série não faz nada
Nulo	A · 0 = 0	A + 1 = 1	contato sempre aberto em série mata o degrau
Idempotência	A · A = A	A + A = A	o mesmo sensor duas vezes é sensor uma vez
Complemento	A · Ā = 0	A + Ā = 1	NA e NF do mesmo sinal em série nunca passa
Absorção	A · (A + B) = A	A + A·B = A	o ramo extra não muda nada, pode apagar

A idempotência e a absorção são as que mais aparecem em programa herdado. Alguém foi acrescentando condição ao degrau ao longo dos anos, e no fim metade delas já estava contida na outra metade.

antes: X0 · (X0 + X1) · X2 seis contatos, três sinais absorção: X0·(X0+X1) = X0 depois: X0 · X2 dois contatos

2 · De Morgan, o que tira o bloco negado do meio

A negação de um produto é a soma das negações. A negação de uma soma é o produto das negações.

A̅·̅B̅ = Ā + B̄ "não é os dois" = "falta um ou falta o outro" A̅+̅B̅ = Ā · B̄ "não é nenhum dos dois" = "falta um E falta o outro"

Isso não é decoreba de prova: é o que transforma uma condição escrita em português numa linha de Ladder. Pega a regra de segurança mais comum da fábrica:

"A máquina só parte se NÃO houver porta aberta OU emergência apertada."

como está escrito: Parte = não( PortaAberta + Emergência ) De Morgan vira: Parte = PortaAberta̅ · Emergência̅ no Ladder: |──[/PortaAberta]──[/Emergência]──( Parte )| dois contatos NF em série, e pronto

Por que isso importa mais que a economia: a forma da direita é escrita com dois contatos NF em série, que é exatamente a lógica à prova de falha da aula 07. Se o cabo de um deles soltar, o degrau abre e a máquina para. A forma da esquerda, com um bloco negado, esconde essa propriedade. De Morgan aqui não encolhe o programa: deixa ele seguro de ler.

3 Karnaugh: o mapa que agrupa os uns

tabela de 8 linhas · grupos de 1, 2, 4 ou 8 · cada dobro de tamanho some com uma letra

1 · o caso de verdade: votação dois de três

Três sensores de nível no mesmo tanque. Um sensor sozinho pode sujar, descalibrar ou quebrar, então a bomba só desliga quando pelo menos dois dos três concordam. Isso se chama votação 2 de 3, e é padrão em segurança de processo.

A	B	C	saída	linha
0	0	0	0	ninguém
0	0	1	0	só um
0	1	0	0	só um
0	1	1	1	dois concordam
1	0	0	0	só um
1	0	1	1	dois concordam
1	1	0	1	dois concordam
1	1	1	1	os três

Escrevendo uma linha de Ladder para cada 1 da tabela, que é o que quase todo mundo faz na primeira vez:

S = Ā·B·C + A·B̄·C + A·B·C̄ + A·B·C quatro ramos de três contatos = 12 contatos

Agora o mapa. Ele é a mesma tabela, mas com as colunas em uma ordem em que vizinhos mudam uma letra só. É essa ordem que faz os grupos aparecerem:

	B̄C̄	B̄C	BC	BC̄
Ā	0	0	1	0
A	0	1	1	1

Os quatro uns formam três pares, e cada par mata uma letra: o par de cima com o do meio dá B·C, o par da direita dá A·B, e o par do meio com o da esquerda dá A·C.

S = A·B + A·C + B·C três ramos de dois contatos = 6 contatos

De 12 para 6. O degrau faz exatamente a mesma coisa nas oito linhas da tabela, com metade dos contatos. Menos contato é menos coisa para alguém editar errado daqui a três anos, e num CLP pequeno é memória de programa que você não tem sobrando.

A regra do agrupamento: grupos só podem ter 1, 2, 4 ou 8 células, sempre em retângulo, e podem dar a volta pelas bordas. Cada vez que o grupo dobra de tamanho, uma letra some da expressão. Grupo de 1 tem três letras, de 2 tem duas, de 4 tem uma, de 8 não tem nenhuma e a saída é sempre 1.

Bancada · a sua tabela, simplificada

clica em cada linha para virar a saída entre 0 e 1. o mapa e a expressão mínima se refazem sozinhos

Prova rápida · álgebra booleana

✓ 0 ✗ 0

dez sorteadas de um banco de vinte: refazendo, vêm outras

pergunta 1 de 10

Pra treinar

Simplifique A + A·B usando uma lei da tabela.
Escreva A̅·̅B̅ sem a barra por cima de tudo.
"Não pode estar sem óleo nem sem ar" vira que expressão?
Um contato NA e um NF do mesmo sinal em série: o degrau liga quando?
Quantas linhas tem a tabela verdade de quatro entradas?
Na bancada, põe 1 só nas linhas 000 e 111. Dá para simplificar?

ver as respostas

1. Absorção: A + A·B = A · 2. De Morgan: Ā + B̄ · 3. Negação de uma soma: não(semÓleo + semAr) = semÓleo̅ · semAr̅, dois NF em série · 4. Nunca: A · Ā = 0, é a lei do complemento · 5. 2⁴ = 16 linhas · 6. Não: os dois uns ficam em cantos que não se tocam no mapa, então cada um fica sozinho e a expressão continua com dois termos de três letras. A bancada mostra isso.

O Ladder que você escreve já é álgebra booleana: série é AND, paralelo é OR, NF é NOT. As leis cortam o que se repete, De Morgan troca o bloco negado por contatos NF em série, e o mapa de Karnaugh acha o menor degrau que faz o que a tabela manda. A votação 2 de 3 caiu de doze contatos para seis, e continua respondendo igual nas oito linhas.

CLP do zero · aula 10 · caderno do João; o simplificador desta página foi conferido contra as 256 tabelas possíveis de três entradas