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Cálculo 2 aula 17 circuitos

Transformada de Laplace: a equação diferencial vira álgebra

Na aula 07 o circuito RL saiu separando variáveis e integrando. Aqui ele sai dividindo, e a condição inicial entra sozinha na conta.

começar ↓
a linha que resolve tudo
\[ \mathcal{L}\{f'(t)\}=s\,F(s)-f(0) \]
em uma frase

Derivada vira multiplicação por s, integral vira divisão por s, e a equação diferencial vira uma conta de isolar o que você quer.

§ 17.1 · o roteiro

O caminho todo, em quatro passos

1Transformo a equação inteira, termo a termo, com a tabela.
2Isolo a incógnita. Aqui não tem integral, é conta de dividir.
3Quebro o resultado em frações parciais que estão na tabela.
4Volto pro tempo lendo a tabela ao contrário.

O trabalho que na aula 07 estava em integrar passa a estar em quebrar a fração. É troca boa: integral tem truque, fração parcial é mecânica.

§ 17.2 · a definição

A definição, e por que ela some depois

\[ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt \tag{17.1} \]

O \(e^{-st}\) é um peso que encolhe com o tempo, e é ele que faz a integral fechar num número. Você faz essa integral uma vez para cada função básica, anota numa tabela, e não faz nunca mais.

§ 17.3 · a tabela

A tabela mínima

Com estas seis linhas dá pra resolver quase todo circuito de primeira e de segunda ordem:

\(1\) (degrau)→\(1/s\)
\(t\)→\(1/s^2\)
\(e^{at}\)→\(1/(s-a)\)
\(\operatorname{sen}\omega t\)→\(\omega/(s^2+\omega^2)\)
\(\cos\omega t\)→\(s/(s^2+\omega^2)\)
\(f(t)\) atrasada em \(a\) s→\(e^{-as}F(s)\)

A última linha é o temporizador: atrasar no tempo é multiplicar por \(e^{-as}\). É o TON da sala de CLP escrito em conta.

§ 17.4 · a derivada

A linha que resolve tudo

\[ \mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0) \tag{17.2} \]
\[ \mathcal{L}\{f''\}=s^2F-sf(0)-f'(0) \tag{17.3} \]

Derivar no tempo é multiplicar por \(s\). O preço é o \(-f(0)\), que carrega o estado inicial do circuito. Na aula 07, a constante de integração só apareceu no fim e teve que ser caçada. Aqui ela entra na primeira linha e não tem como esquecer.

§ 17.5 · cálculo completo

O circuito RL da aula 07, agora sem integrar

o que eu quero saberA corrente \(i(t)\) depois de fechar a chave: 12 V, 4 Ω, 2 H, com \(i(0)=0\).
o que eu já sei\(L\,i'+R\,i=V\); \(\mathcal{L}\{i'\}=sI-i(0)\); \(\mathcal{L}\{12\}=12/s\).
  1. 1
    Transformar a equação inteira
    \[ 2\big[sI(s)-0\big]+4I(s)=\frac{12}{s} \tag{17.4} \]
  2. 2
    Isolar I(s)
    \[ I(s)(2s+4)=\frac{12}s\ \Longrightarrow\ I(s)=\frac{6}{s(s+2)} \tag{17.5} \]
  3. 3
    Quebrar em dois pedaços da tabela
    \[ \frac{6}{s(s+2)}=\frac As+\frac{B}{s+2} \tag{17.6} \]
    Multiplico por \(s\) e faço \(s=0\): \(A=3\). Multiplico por \((s+2)\) e faço \(s=-2\): \(B=-3\).
  4. 4
    Ler a tabela ao contrário
    \[ \frac3s\to3,\qquad \frac{-3}{s+2}\to-3e^{-2t} \tag{17.7} \]
  5. 5
    O número que a aula 07 já tinha
    \[ i(0{,}5)=3\big(1-e^{-1}\big)=3\cdot0{,}6321=1{,}896\ \text{A} \tag{17.8} \]
resultado\(i(t)=3\big(1-e^{-2t}\big)\ \text{A}\)
✓ confereIntegrando numericamente, \(i(0{,}5)=1{,}896362\), igual à fórmula. E o valor final sai sem resolver nada: \(V/R=12\div4=3\) A.
§ 17.6 · o atalho

O atalho que responde sem resolver

valor final · onde vai parar\(\lim_{s\to0}sF(s)\)Em \(I(s)=6/[s(s+2)]\): \(6/2=3\) A.
valor inicial · como começa\(\lim_{s\to\infty}sF(s)\)Dá \(0\): a corrente quando a chave fecha.
! cuidadoO valor final só vale se a coisa se acomoda. Polo com parte real positiva ou no eixo: a resposta cresce ou oscila pra sempre e a conta mente.
§ 17.7 · os polos

Onde ficam os polos, e o que eles fazem

×Polo real negativo em \(-a\): aparece um \(e^{-at}\), que some liso.
×Quanto mais longe do zero, mais rápido aquele pedaço some.
×Par complexo: oscilação que decai. A parte real dá a velocidade do decaimento; a imaginária, a frequência.
figura 17.1 · interativa O RLC em série e os polos dele Degrau de 12 V · L = 10 mH · C = 100 µF. Mexa no resistor: em cima, a tensão no capacitor; embaixo, os polos no plano s.
resistor R {{ rLabel }}
0 6 12 18 24 V 10 ms 20 ms 30 ms −1000 −2000 −3000 −4000 Im Re
ζ{{ zLabel }}
pico{{ peakLabel }}
sobressinal{{ osLabel }}
{{ caption }}
§ 17.8 · cálculo completo

Por que o capacitor de uma fonte de 12 V precisa aguentar 21 V

o que eu quero saberA maior tensão no capacitor ao ligar: 12 V, R = 2 Ω, L = 10 mH, C = 100 µF.
o que eu já sei\(L i'+Ri+v_C=V\), \(i=Cv_C'\); tudo parte do zero.
  1. 1
    Transformar e isolar
    \[ V_C(s)=\frac{\omega_0^2\,V}{s\big(s^2+2\zeta\omega_0s+\omega_0^2\big)} \tag{17.9} \]
  2. 2
    Os dois números que mandam
    \[ \begin{aligned}\omega_0&=\frac1{\sqrt{LC}}=1000\ \text{rad/s}\ (159{,}2\ \text{Hz})\\ \zeta&=\frac R2\sqrt{\frac CL}=1\cdot0{,}1=0{,}1\end{aligned} \tag{17.10} \]
  3. 3
    Os polos
    \[ s=-\zeta\omega_0\pm j\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}=-100\pm j995 \tag{17.11} \]
    Complexos: a tensão vai oscilar em 158,4 Hz enquanto decai.
  4. 4
    O sobressinal
    \[ M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}=e^{-0{,}3157}=0{,}729 \tag{17.12} \]
  5. 5
    A tensão de pico
    \[ \begin{aligned}v_{\max}&=12\,(1+0{,}729)=20{,}75\ \text{V}\\ t_p&=\pi/\omega_d=3{,}16\ \text{ms}\end{aligned} \tag{17.13} \]
resultadoNuma fonte de 12 V o capacitor chega a 20,8 V: o de 16 V queima, o de 25 V aguenta.
✓ confereIntegrando o circuito numericamente, \(v_C(3\ \text{ms})=1{,}720135\) por volt, igual à fórmula. Amortecimento crítico em \(R=2\sqrt{L/C}=20\ \Omega\): daí pra cima não passa de 12 V.

É a mesma matemática da sala de Vibração: massa, mola e amortecedor dão a mesma equação de segunda ordem que L, C e R. O polo que oscila no circuito é a frequência que aparece no espectro do sensor.

§ 17.9 · na prova

Os erros e a correção

✕ os erros de provaEscrever \(\mathcal{L}\{f'\}=sF\) e esquecer o \(f(0)\). Aplicar valor final num sistema que oscila sem parar. Confundir \(e^{-as}F(s)\) (atraso) com \(F(s-a)\) (vezes \(e^{at}\)). Esquecer o termo de grau 2 na raiz repetida.
✓ a correçãoEscreva a condição inicial antes, mesmo quando é zero. Olhe os polos antes do valor final. Para \((s+a)^2\): \(\tfrac A{s+a}+\tfrac B{(s+a)^2}\). Confira em \(t=0\) e \(t\) grande.
§ 17.10 · pra treinar

Exercícios

1A transformada de \(f(t)=3t+2\)\(\tfrac3{s^2}+\tfrac2s\)
2A volta pro tempo de \(F(s)=5/(s+4)\)\(5e^{-4t}\)
3\(y'+3y=6\), \(y(0)=0\), e quanto dá \(y(0{,}5)\)\(Y=\tfrac2s-\tfrac2{s+3}\Rightarrow y=2(1-e^{-3t})\); \(y(0{,}5)\approx1{,}554\)
4O valor final de \(I(s)=10/[s(s+5)]\)\(10/5=2\)
5O resistor do amortecimento crítico com L = 10 mH e C = 100 µF\(R=2\sqrt{L/C}=20\ \Omega\)
pra levar

Transformar, isolar, quebrar, voltar. A derivada vira s e traz a condição inicial junto. Os polos contam a história antes de resolver. O valor final diz onde a coisa para, desde que ela pare.

Cálculo 2 · aula 17 · todos os números conferidos contra integração numérica do circuito