O professor de Cálculo não ensina a isolar x. Ele supõe que você já sabe, e é aí que a turma trava. Num exercício típico de Cálculo 1, a derivada é uma linha e a álgebra que vem depois são cinco.
Onde esta aula fica na escada
| matéria | a ideia principal | no seu mundo |
|---|---|---|
| Cálculo 1 | limite, derivada e integral de uma variável | a velocidade do robô a cada instante, e a distância que ele andou |
| Cálculo 2 | integrais mais difíceis e séries, que são somas infinitas | é por série que a calculadora acha ex |
| Cálculo 3 | várias variáveis, integrais duplas e triplas, vetores | o calor espalhando numa placa, com x, y e o tempo juntos |
| EDO | equações em que a incógnita é uma função | o capacitor carregando, o motor acelerando, o RLC |
Tudo isso já está no site, na sala de Cálculo, em 17 aulas. Esta aula aqui é o degrau de baixo, o que segura todos os outros.
Letra dos dois lados
Letra pra um lado, número pro outro. É arrumar gaveta: meia com meia, camiseta com camiseta.
confere: 5·5 − 3 = 22 e 2·5 + 12 = 22 ✓
confere: 30 e 30 · 23 e 23 ✓
O truque: leve o x para o lado onde ele fica positivo
Você podia ter levado o 7x para a esquerda. Daria −5x = −25, e você ainda teria que lidar com dois sinais de menos. Escolher o lado é de graça, e economiza um erro de sinal.
Parênteses
O número de fora multiplica todo mundo de dentro. É distribuir bala: cada um que está lá dentro ganha a sua.
confere: 3·10 = 30 e 2·5 + 20 = 30 ✓
A pegadinha mais famosa de prova: o menos na frente
Um sinal de menos encostado no parênteses troca o sinal de todo mundo lá dentro.
10 − (x − 3) → 10 − x − 3
10 − (x − 3) → 10 − x + 3. O menos de fora vale como um −1 multiplicando: −1·x dá −x, e −1·(−3) dá +3.
confere: 10 − (4 − 3) = 9 e 2·4 + 1 = 9 ✓
Fração igual a fração: multiplica em cruz
Quando é uma fração sozinha de cada lado do igual, o de baixo de um lado sobe multiplicando o de cima do outro. A fração some.
confere: 9 ÷ 3 = 3 e 6 ÷ 2 = 3 ✓
Frações somandoa que derruba
Quando as frações estão somando, a cruz não serve. Multiplique a equação inteira pelo número que mata todos os de baixo de uma vez.
A cruz só vale para uma fração de cada lado. Em x/2 + x/3 = 10 há duas frações do mesmo lado, e cruzar ali é o erro que mais aparece corrigido em vermelho.
confere: 12 ÷ 2 + 12 ÷ 3 = 6 + 4 = 10 ✓
O número que mata todos os de baixo é o mínimo múltiplo comum deles. Com 2 e 3 é 6; com 4 e 2 é 4; com 3 e 5 é 15. Se não achar de cabeça, multiplicar os dois de baixo sempre funciona, só dá número maior.
Só letras, nenhum número
Finja que as outras letras são números. A letra que você quer é a caixa; o resto é peso conhecido.
Um carro sai do km 20 e chega no km 140, a 60 km/h: t = (140 − 20) ÷ 60 = 2 horas.
| fórmula | isole | fica | com número |
|---|---|---|---|
| P = V·I | V | V = P ÷ I | 5 500 ÷ 25 = 220 V |
| F = m·a | a | a = F ÷ m | 100 ÷ 20 = 5 m/s² |
| v = v₀ + a·t | a | a = (v − v₀) ÷ t | (20 − 0) ÷ 4 = 5 m/s² |
| Q = m·c·ΔT | ΔT | ΔT = Q ÷ (m·c) | 41 860 ÷ 4 186 = 10 °C |
Repara na última: o m e o c estão os dois multiplicando, então os dois passam dividindo, e juntos, dentro do mesmo parênteses. Escrever Q ÷ m · c daria outra coisa.
O quadrado se desfaz com a raiznova
O contrário de elevar ao quadrado é tirar a raiz, do mesmo jeito que o contrário de vezes é dividido.
Um resistor de 10 Ω dissipando 40 W: I = √(40 ÷ 10) = √4 = 2 A.
E no outro sentido, P = V² ÷ R isolando o V: primeiro o R sobe multiplicando, V² = P·R, depois a raiz, V = √(P·R). Com 40 W e 10 Ω dá √400 = 20 V.
Em matemática pura, x² = 4 tem duas respostas, +2 e −2. Em corrente e tensão de circuito a gente fica com a positiva, porque corrente negativa aqui só quer dizer sentido contrário.
A letra aparece duas vezes: põe em evidêncianova
Junte tudo que tem a letra do mesmo lado, e depois puxe a letra para fora do parênteses.
Esta é a conta do divisor de tensão, que você vai usar no robô: o sensor manda 5 V e o ESP32 trabalha em 3,3 V.
Com Vin = 5 V, Vs = 3,3 V e R₁ = 10 kΩ: R₂ = 3,3 × 10 ÷ (5 − 3,3) = 33 ÷ 1,7 = 19,4 kΩ. Na gaveta não existe 19,4; o vizinho comercial é 20 kΩ, e com ele a saída fica 5 × 20 ÷ 30 = 3,33 V, em cima do alvo. É o divisor 10 k / 20 k que todo mundo usa nessa ponte de 5 V para 3,3 V.
O 1/R: vira de cabeça para baixo
Quando sobra 1 dividido pela letra de um lado, vire as duas frações de cabeça para baixo.
Esta é a fórmula dos resistores em paralelo, de Circuitos 1, e é onde a turma para.
Com 6 Ω e 3 Ω em paralelo: R = (6 × 3) ÷ (6 + 3) = 18 ÷ 9 = 2 Ω. Com 12 Ω e 6 Ω: 72 ÷ 18 = 4 Ω.
Repara no que aconteceu. Nos dois casos o resultado ficou menor que o menor dos dois. Isso não é coincidência nem erro de conta: é a física. Ligar em paralelo é abrir uma segunda porta. Com duas portas passa mais gente, e mais gente passando é justamente menos resistência.
Em série é o contrário e a conta é mais fácil, porque é uma porta atrás da outra: R = R₁ + R₂. Os mesmos 6 Ω e 3 Ω em série dão 9 Ω, mais que o maior dos dois.
Bancada 1 · a equação passo a passo
monte qualquer conta do tipo a·x + b = c·x + d e veja as jogadas 1 e 2 acontecendo linha por linha
Bancada 2 · dois resistores
série, paralelo e o divisor de tensão do robô, com a fórmula aparecendo com os seus números dentro
- Passar pro outro lado faz o contrário: + vira −, × vira ÷
- O mais longe sai primeiro, como tirar o casaco antes da camisa
- Letra dos dois lados: letra pra um lado, número pro outro
- Parênteses: o de fora multiplica todo mundo de dentro, e menos na frente troca o sinal de todos
- Fração igual a fração: multiplica em cruz
- Frações somando: multiplica tudo pelo número que mata os de baixo
- Quadrado: desfaz com raiz
- Letra duas vezes: põe em evidência
- 4x + 5 = x + 17
- 8x − 7 = 3x + 13
- x + 30 = 6x + 5
- 2(x + 3) = x + 10
- 3(x − 4) = x + 6
- 20 − (x + 2) = 2x ⚠ a pegadinha do menos
- (x + 4) ÷ 2 = (x + 1) ÷ 1,5
- (x + 5) ÷ 3 = (x − 1) ÷ 2
- x ÷ 4 + x ÷ 2 = 9
- Em V = R·I, isole o I
- Em F = m·a, isole o m
- Em P = V² ÷ R, isole o V
ver as respostas
1. x = 4 · 2. x = 4 · 3. x = 5 · 4. x = 4 · 5. x = 9 · 6. x = 6 · 7. x = 8 · 8. x = 13 · 9. x = 12 · 10. I = V ÷ R · 11. m = F ÷ a · 12. V = √(P·R)Confere cada uma pondo o número de volta nos dois lados. Se os dois derem igual, está certa, e você não precisa de gabarito nenhum.
São oito jogadas, e depois delas toda equação de prova é uma combinação das mesmas oito. Quando travar, pergunte só: o que está grudado na letra, e o que está mais longe? Tira o de fora primeiro, sempre fazendo o contrário. E confere pondo o número de volta.